Narodil se 25. června 1971 v Litvínově, tudíž byl předurčen k tomu, aby svůj život zasvětil hokeji. O dva roky později přibyl do rodiny bratr Martin, který rovněž našel své útočiště mezi mantinely. Centr debutoval v litvínovské dorostu v roce 1985, později se přesunul do juniorky. Jeho čísla byla výjimečná, brzy následovalo první představení v dospělém hokeji.
 
V sezoně 1987/88 reprezentuje tehdejší Československo na dvou mládežnických šampionátech. Nejdříve oblékl národní dres na mistrovství světa juniorů, kde Čechoslováci obsadili čtvrté místo. Reichel se blýskl sedmi brankami a třemi asistencemi. Ještě více se mu dařilo na mistrovství Evropy juniorů, to se tehdy konalo v Československu a tuzemský tým si dokráčel pro zlaté medaile. Litvínovský útočník byl u dvanácti branek.

Není divu, že se o něj začali zajímat skauti ze zámořské NHL. Ostatně jeho šikovnost a hokejový um potvrdila první sezona za černožluté áčko. V té si mladík připsal 27 bodů ze šestatřiceti zápasů. V roce 1989 jej draftovalo Calgary Flames. Následující ročník odehrál Reichel v Litvínově. Fanoušky udivil 83 body za 52 utkání.

Po boku hvězd

Rok po sametové revoluci vyrazil vstříc svému snu, jeho novým domovem se stalo kanadské Calgary. Úvodní sezona nebyla vůbec špatná, novic odehrál 66 zápasů, během kterých nastřílel 20 branek a na dalších 23 přihrál. V té době v dresu Flames působila řada hokejových osobností jako například Theo Fleury, Joe Nieuwendyk či Sergej Makarov. Reichel se rychle stal součástí, v témže roce obdržel pozvánku do reprezentace.

Dařilo se mu i v dalších letech, v Calgary sbíral body. V sezoně 1992/93 získal 94 zářezů, 16. ledna 1993 zapsal svůj první hattrick v NHL. Další sezona dopadla ještě lépe, protože Reichel posbíral o pět bodů více než v předchozím ročníku. Slibně rozjetou kariéru zbrzdila výluka v roce 1994, první polovina sezony NHL byla zrušena. Reichel na 21 zápasů oblékl dres Frankfurtu. Ve zkráceném ročníku zámořské soutěže nastřílel 18 gólů.


Následující rok byl klíčový, protože se litvínovský rodák nedohodl na kontraktu s Calgary. Celou sezonu působil v barvách Frankfurtu, kde za 46 zápasů získal 101 bodů. V německé DEL lize narazil na svého bratra, který tehdy působil v týmu Star Bulls Rosenheim. V té době se Reichel hojně objevoval v reprezentaci, tam mu na dresu svítilo kapitánské céčko.

Návrat do NHL a Nagano

Po německé anabázi se vrací do Flames, ti ho ale záhy mění a útočník má novou adresu, New York Islanders. Za Ostrovany dokončil rozjetou sezonu, v jednom z největších měst USA se blýskl 19 body ve 12 zápasech. Také další ročník načal v dresu Islanders, kde se potkal například s Žigmundem Pálffym či brankářem Tommy Salem. Tým sice nedosáhl na vyřazovací boje, ale Reichel v tu dobu dosáhl jiného cíle.

V roce 1998 se stal jedním ze strůjců největšího českého sportovního úspěchu. Ve hvězdami nabitém týmu nemohl chybět a v Naganu si připsal tři branky. „Tak Roberte,“ hodnotil tehdy Robert Záruba rozjezd Reichela v penaltovém rozstřelu s Kanadou. Centr hbitě překonal Patrick Roye, na oslavy bylo ještě brzo, protože Hašek měl před sebou čtyři série. Nakonec však všechny hráče vychytal a Češi mířili do finále, kde těsně porazili Rusko.

Po olympijském úspěchu odehrál v New Yorku jen část sezony, po sedmdesáti zápasech byl vyměněn do Phoenixu, v Arizoně působil ve třinácti utkáních. Po konci ročníku se stal volným hráčem, kontrakt mu ale žádný ze zámořským týmů nenabídl, a tak se vrátil zpět do Litvínova. Na severu Čech strávil dva roky, pokaždé si udržel statistiku bodu na zápas.

Všechny cesty vedou do Litvínova

Phoenix stále vlastnil práva na litvínovského hráče a vyměnil je do Toronta. Reichel zamířil zpět do NHL a vydržel tam tři sezony. Čísla sice nebyla tak oslnivá, ale stále patřil k důležitým členům týmu. Sezonu 2004/05 už začal zase v Čechách, v dresu tehdejšího Chemopetrolu vydržel až do konce své kariéry. Ten přišel v roce 2010, nicméně Reichel u hokeje zůstal v i hokejovém důchodu.


Stal se novým trenérem Litvínova, po půl sezoně rezignoval a přesunul se k mládeži. Později působil jako hlavní trenér v několika mládežnických reprezentačních výběrech. Ve strukturách národního mužstva působí do dnešních dnů. Nikdy však nevynechá příležitost pomoci svému oblíbenému týmu. Naposledy si v listopadu 2019 zatrénoval s litvínovským áčkem.

Reichel za celou svou kariéru posbíral řadu ocenění, ze světových šampionátů získal tři zlaté a čtyři bronzové medaile. V roce 2008 byl dokonce uveden do Síně slávy českého hokeje, po sedmi letech mu podobnou poctu vyjádřila i organizace IIHF.

V jeho šlépějích kráčí syn Kristian, který hokejově vyrostl v Litvínově. Aktuálně hraje za kanadský tým Manitoba Moose v AHL. Dynastii Reichelů rozvíjí i Robertův bratr Martin. Jeho synové Thomas a Lukas mají německé občanství a působí v kádru Eisbären Berlin.