Jak je již zřejmé z titulku, narodil se Uvíra ve Slezsku. Stalo se tak 12. července 1961. Ještě, než se poprvé oblékl do černožlutého dresu, objevil se na mistrovství světa juniorů v roce 1980. Tehdejší šampionát se konal v Helsinkách a Uvíra si zahrál například po boku Miloslava Hořavy. Čechoslováci tehdy skončili ve finálové skupině čtvrtí, což nebyl oslňující výsledek. Uvíra se objevil v pěti zápasech, ve kterých zaznamenal jednu asistenci.

Začátky v Litvínově a vojna v Jihlavě

Poté se přesunul do Litvínova, kde si připsal prvoligový debut. V ročníku 1980/81 odehrál 38 utkání a nasbíral jedenáct bodů. Tento výkon mu vynesl další angažmá na reprezentační scéně. Účastnil se mistrovství světa juniorů, tentokrát se konalo v šesti západoněmeckých městech. Čechoslováci opět skončili čtvrtí.

V této době se po Uvírově boku objevila další zajímavá jména. V obraně se setkal opět s Miloslavem Hořavou, v útoku zase kroužil Vladimír Růžička či Milan Razým. I na tomto šampionátu odehrál Uvíra pět utkání a do tabulek si zapsal dva body za asistence.
 
Následovaly dvě sezony, které strávil na vojně v Jihlavě. V prvním ročníku mimo Litvínov odehrál 39 zápasů, ve kterých nasbíral pouze osm bodů. Ale ani to mu nezabránilo, aby se dostal do reprezentačního výběrů trenérů Luďka Bukače a Stanislava Neveselého.
 
Na turnaji ve Finsku získalo Československo stříbrnou medaili. Uvíra se podílel dvěma asistencemi a poctivou defenzivní prací. „Když se ohlédnu za svou kariérou, nejraději vzpomínám právě na období pod trenéry Bukačem a Neveselým,“ řekl v rozhovoru pro hokej.cz Uvíra.

Zajímavý rok 1982

Kromě první reprezentační medaile přišla další vzrušující zpráva. Eduard Uvíra byl draftován týmem Toronto Maple Leafs jako 87. hráč v rámci celého draftu. Po dlouhém rozmýšlení působení v NHL zavrhl. „V jednom momentě už jsem byl nalomený, ale pak zvítězila mateřská hrdost. Vztah k zemi,“ vzpomínal v rozhovoru.

Další ročník v československé lize odehrál v dresu Jihlavy. Dal zapomenout na minulou sezonu a během 43 zápasů nasbíral 16 bodů. Opět se objevil v nominaci a získal stříbrnou medaili. Na mistrovství světa v SRN odehrál deset zápasů. Oproti minulému šampionátu sice nebodoval, ale o to víc byla důslednější jeho obranářská činnost.

To už se ale naplnil jeho jihlavský čas a vrátil se zpět do Litvínova. Na severu strávil dva roky, poté se musel kvůli osobním problémům přesunout do Bratislavy. Během dvou ročníků odehrál 66 zápasů a nastřádal třicet bodů. Jeho nadprůměrné výkony mu prodloužily reprezentační kariéru.


Vyzkoušel si olympiádu v Sarajevu v roce 1984. Na jugoslávském ledě si připsal první branku na velké hokejové akci. Ve 48. minutě v zápase mezi Československem a Finskem upravoval skóre na 6:2. K premiérové brance přidal ještě dvě asistence.
 
Ve stejný rok se objevil také na Kanadském poháru, kde Čechoslováci skončili pátí. Uvíra se představil rovněž na domácí šampionátu v Praze, po kterém se mu na krku houpala zlatá medaile. Po jeho boku bojoval další litvínovský obránce Arnold Kadlec.

Bratislavské působení a německá anabáze

Přesun do slovenské metropole obránci statisticky pomohl. V první sezoně v dresu Slovanu nasbíral 22 bodů. Následovaly další čtyři sezony, které měly spíše sestupnou tendenci. Uvíra si stihl zahrát ještě na olympiádě v Calgary v roce 1988, poté se už na žádné velké reprezentační akci neobjevil.
 
Po uvolnění hranic se přesunul z československé ligy do sousedního Německa. Okusil tamní druhou ligu, ve které hájil barvy Freiburgu. Během působení v příhraničním městě se mu narodil syn Sebastian.
 
Angažmá ve Freiburgu bylo vydařené, protože Uvíra si připsal tři sezony, ve kterých měl nad dvacet bodů. Tento fakt mu vynesl nové působiště, bavorský Landshut. S novým týmem ochutnal i nejvyšší německou hokejovou ligu (DEL). Jeho germánskou anabázi zakončilo působení ve Freiburgu v ročníku 2002/03, poté s aktivním hokejem skončil.
  
I svou další část života zasvětil světu puků a bruslí. Vrátil se zpět do Opavy, kde dva roky působil v mládežnických kategoriích. „Šli jsme zpátky za českým hokejem, ale pak se nějak ukázalo, že to není úplně ono,“ komentoval svůj návrat a vlastně i odchod. „Sebastian dostal možnost odejít do mládežnického týmu v Berlíně,“ dodal Uvíra.
 
Nyní už pátým rokem působí u hokejové mládeže v Ingolstadtu. Radost mu dělá také jeho syn, který se nakonec usadil v týmu kolínských Žraloků.